۳-جابجایی مستقیم از حالت |i> به |f> انجام می‌شود و احتمال هر جابجایی دیگر صفر است.
نکته مهم در قاعده طلایی بحث حالت‌های سیستم است که اگر در زمان اختلال عوض شوند دیگر نمی‌توان از آن استفاده کرد. اگر اختلال وارد شده به سیستم را وابسته به زمان در نظر بگیریم مانند زمانی که یک پالس لیزر به جسم برخورد می‌کند و فرکانس این پالس در حد رزونانس یعنی باشد، بعد از انجام عملیات ریاضی به رابطه زیر برای آهنگ انتقال می‌رسیم:
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

‏۴‑۴۵
که در آن است. آهنگ گذار کل را برای سیستم به‌صورت معرفی می‌کنیم که برای رسانش و برای نوار ظرفیت است. v معرف انواع فرآیندهای پراکندگی است. اگر حالت سیستم الکترونی را با نشان دهیم برای آهنگ حامل-فوتون داریم:
‏۴‑۴۶
که در آن علامت مثبت اشاره به جذب و منفی اشاره به تولید فوتون دارد و اشاره به زاویه k و محور x دارد. جزئیات محاسبه به این صورت است که اگر هامیلتونی را بین حالت اولیه و حالت نهایی سیستم قرار دهیم یک جمله داریم که اگر در دو طرف معادله، انتگرال را ضرب کنیم طرف چپ، یک می‌شود و طرف راست به تعریف دلتای کرونکر یعنی:
می‌رسیم که می‌شود پس داریم و جمله دلتای دیراک هم بسته به این که سیستم در اثر فوتون با انرژی تابش کرده باشد یا جذب جواب منفی و مثبت را به ترتیب انتخاب می‌کنیم. و جمله هم از قرار دادن ماتریسی که در اختلال وجود دارد بین حالت اولیه و نهایی بدست می‌آید. به جای هم میانگینش را قرار دادیم.
برای حامل-فونون داریم:
‏۴‑۴۷
که در آن عدد اشغال فونون است که اشاره به تولید و اشاره به جذب فونون دارد و زاویه بین k و k^‘ است و u برای مدهای طولی l و عرضی t به‌صورت زیر تعریف می شود:
‏۴‑۴۸
جزئیات محاسبه به این صورت است که بعد از قرار دادن هامیلتونی اختلالی بین حالت که مربوط حالت فونونی است داریم:
که جمله مربوط به نمایش حالت کلی است که یک exp(ik.r) را از حالت الکترونی دارد و یک exp(iq.r) از حالت فونونی دارد. منظور از exp(ik^‘.r) حالت نهایی سیستم الکترونی است. اگر در دو طرف معادله انتگرال را ضرب کنیم طبق آنچه گفته شد داریم و جواب هم این است که، یا حالت نهایی از اولیه انرژی بالاتر دارد(که در اثر جذب فونون) یا کمتر(که در اثر تابش فونون) که بسته به آن را تعریف می‌کنیم و بوجود می‌آید. جمله هم به این صورت حاصل می‌شود که اگر را بین قرار دهیم(که برای حالت نهایی تبدیل به می‌شود) و اندازه‌اش را به توان دو برسانیم این جمله هم بدست می‌آید.
در گام بعدی از معادله بالانس[۵۶-۵۸] که بر اساس رابطه بولتزمن است استفاده می‌کنیم:
‏۴‑۴۹
که در آن اشاره به تبهگنی اسپین و به تبهگنی وادی اشاره دارد و به‌صورت زیر معرفی می‌شود:
‏۴‑۵۰
که در آن تابع توزیع فرمی-دیراک است که پتانسیل شیمیایی است. برای محاسبه رابطه تعادل از رابطه تعادل جرم^[۶۹][۵۹] استفاده می‌کنیم که از ضرب در رابطه ‏۴‑۴۹ بدست می‌آید. حال برای محاسبه به این صورت عمل می‌کنیم که اگر تابع توزیع الکترون‌ها را داریم و برای تابع توزیع حفره‌ها را داریم که برای الکترون‌ها رابطه و برای حفره‌ها رابطه را داریم[۵۷]. برای محاسبه الکترون رابطه معلوم است اما برای حفره رابطه ‏۴‑۴۹ را در منفی ضرب می‌کنیم بعد را با یک جمع می‌کنیم(که علت آن تبدیل رابطه به است). علت مجاز بودن آن این است که جلوی مشتق یک عدد ثابت اضافه می‌کنیم که تاثیری در مشتق گیری ندارد و در نهایت به رابطه زیر می‌رسیم:
‏۴‑۵۱
که است. همان طور که از رابطه ‏۴‑۵۱ معلوم است تغییر در جمعیت نوار هدایت مساوی با تغییر در جمعیت نوار ظرفیت است. همچنین بیان می‌کند تنها گذار بین نواری می‌تواند جمعیت نوارها را تغییر دهد. حال با بهره گرفتن از رابطه ‏۴‑۵۱ و فرض شرایط تعادل پایدار یعنی (که با یادآوری دوباره همان‌طور که قبلا گفته شد این تعادل پایدار چند فمتو ثانیه بیشتر نیست) به رابطه زیر می‌رسیم:
‏۴‑۵۲
که جملات به‌صورت زیر بدست می‌آید:
‏۴‑۵۳
‏۴‑۵۴
‏۴‑۵۵
‏۴‑۵۶
معادله ‏۴‑۵۳ به جذب فوتون و انتقال آن از نوار ظرفیت به رسانش اشاره می‌کند و معادله ‏۴‑۵۴ انتشار یک فوتون هنگام انتقال از نوار رسانش به ظرفیت است. معادلات ‏۴‑۵۵ و ‏۴‑۵۶ به ترتیب نشان دهنده انتشار و جذب فونون در هنگام انتقال بین نواری است. در معادله ‏۴‑۵۰ جملاتی مثل یا صفر است. چون اولی بیانگر انتشار فوتون هنگام انتقال الکترون به نوار رسانش است و دومی بیانگر جذب یک فوتون توسط الکترون در نوار رسانش است که با توجه به طول عمر پایین الکترون و نیاز به انرژی بالا برای این فرایند، احتمال آن صفر است. فرایند محاسبه عبارت‌ها به این صورت است که همان‌طور که گفتیم می‌خواهیم به رابطه تعادل جرم برسیم. برای این کار یا باید طبق آنچه گفته شد عمل کنیم یا به طور ساده معادله ‏۴‑۱۷ را برای توزیع الکترون(برای حفره طبق آنچه گفتیم ابتدا تابع توزیع را به شکل حفره‌ها در می‌آوریم) در انتگرال بر حسب E چگالی حالات گرافن ضرب می‌کنیم تا تعداد الکترون‌ها بر واحد سطح که در ‏۴‑۵۱ سمت چپ رابطه است بدست آید(مانند ‏۴‑۲۲). حال در سمت راست یک تابع توزیع داریم که در همه معادلات ضرب شده است. برای محاسبه ‏۴‑۵۳ با در نظر گرفتن ویژگی رابطه ‏۴‑۱۳ و اعمال دلتای کرونکر که باعث می‌شود k=k^‘ قرار دهیم داریم:
‏۴‑۵۷
منظور از جملات دیگر معادلات ‏۴‑۵۴ تا ‏۴‑۵۶ است. در بالا طبق خواصی را که گفتیم در دلتای دیراک اعمال کردیم. برای اعمال دلتای دیراک یعنی قرار دادن در توابع توزیع و E موجود در چگالی حالات(در نظر داشته باشید که دلتا ابتدا به‌صورت این بوده است و در آن بجای قرار داده‌ایم و قرار داده‌ایم سپس خاصیت ذکر شده را برای فاکتور گیری را اعمال کردیم) به این صورت عمل می‌کنیم که چون توزیع الکترونی مورد نظر است در E چگالی حالات را قرار می‌دهیم و در تابع هم همین طور قرار می‌دهیم ولی در باید را قرار دهیم چون مربوط به حفره‌ها است. برای زاویه هم را قرار می‌دهیم. همین جا از لحاظ ریاضی معلوم است چرا مقدار صفر را دارد چون در آن صورت دلتای دیراک می‌شد که صفر است. محاسبه ‏۴‑۵۴ هم همین طور است. برای محاسبه ‏۴‑۵۵ باز همان طور که گفته شد دلتای کرونکر را اعمال می‌کنیم و در نظر گرفتن این که[۶۰]:
‏۴‑۵۸
که D(E) چگالی حالت‌ها است داریم:
‏۴‑۵۹
توجه شود در بالا چگالی حالت‌ها بر اساس نوار رسانش و بر اساس E₊(k^‘) است. پس برای اعمال دلتای دیراک آن را طبق آن چه گفته شد براساس چگالی حالات می‌نویسیم و داریم:
‏۴‑۶۰
پس چگالی حالات به‌صورت بدست می‌آید(یعنی به جای دلتای دیراک این عبارت را می‌نویسیم). در تابع توزیع هم عبارت را قرار می‌دهیم در ضمن در نظر داریم که توزیع مربوط به حفره است باید یک منفی اعمال کنیم که به‌صورت بدست می‌آید. اگر چگالی حالات را هم بنویسیم یک داریم و در کل عبارت به جای قرار می‌دهیم x و رابطه ‏۴‑۵۵ بدست می‌آید. برای رابطه ‏۴‑۵۶ هم به همین صورت عمل می‌کنیم. علت این که در روابط ‏۴‑۵۳ تا ‏۴‑۵۶ در توابع توزیع مثبت و منفی هر کدام را بعد از اعمال علامت به تابع حذف نکردیم این است که برای خواننده پایان نامه تشخیص هر کدام آسان باشد.
حال نمونه گرافنی را در نظر می‌گیریم که حامل‌های رسانندگی آن در عدم حضور میدان الکترون‌ها هستند. پس از اعمال میدان الکترون‌ها از نوار ظرفیت به رسانش برانگیخته می‌شوند که در این حالت تعداد الکترون‌ها می‌شود:
‏۴‑۶۱
که و میزان آلاییدگی اولیه است. جملات موجود در ‏۴‑۶۱ در روابط ‏۴‑۲۲ و ‏۴‑۲۳ آمده است. برای محاسبه پتانسیل شیمیایی الکترون‌ها و حفره‌ها با حل هم زمان معادلات ‏۴‑۵۲ و ‏۴‑۶۱ می‌توان مجهول‌ها را پیدا کرد.
برای انجام محاسبات باید توجه داشت که جمله‌های ‏۴‑۵۵ و ‏۴‑۵۶ برای انتشار یا جذب یک فونون توسط الکترون است و انتقال بین نواری در این حالت در نظر گرفته شده است. انرژی یک فونون اپتیکی در گرافن حدود ۰٫۱۹۶ ev است. حال اگر استدلال معادله ‏۴‑۱۷ را مطالعه کنیم مشخص می‌شود که تقریبا برانگیختگی الکترون توسط جذب یک فونون تنها در صورتی امکان دارد که انرژی الکترون در حدود کمتر از ۰٫۱ ev در نوار والانس باشد(این استدلال بیان می‌کند چون تقارن در ساختار نواری گرافن داریم انتقال توسط این انرژی از ۰٫۱۹۶/۲ در نوار والانس به ۰٫۱۹۶/۲ به نوار رسانش امکان پذیر است) که شکل ‏۴‑۱۴ برای بیان بهتر رسم کرده‌ایم. نکته دیگری که در شکل ‏۴‑۱۴ مشهود است این می باشد که اگر الکترون بخواهد به نوار رسانش انتقال پیدا کند بر اساس اصل طرد پاولی نباید حالت نهایی پر باشد که اجازه انتقال به الکترون داده نشود. این یعنی پتانسیل شیمیایی نباید بیش از حدود ۰٫۱ ev در نوار رسانش باشد. اگر بیش از این در نظر بگیریم جملات ‏۴‑۵۵ و ‏۴‑۵۶ باید حذف شوند چون در فرض پتانسیل شیمیایی بیشتر از ۰٫۱ ev جملات کارایی خود را از دست می دهند. در محاسبات طبق آنچه در بخش دوم برای دمای برانگیختگی مشاهده کردیم دما مقداری بسیار بالاتر از دمای ۳۰۰ K
۰٫۱ ev
شکل ‏۴‑۱۴ ساختار نواری گرافن رسم شده و تنها از ناحیه خاکستری فونون های اپتیکی می توانند برانگیختگی انجام دهند و کمتر برای ناحیه مشکی ما برانگیختگی توسط فونون نداریم. اگر با انتقال الکترون از نوار رسانش به فونونی تولید شود حتما الکترون به ناحیه خاکستری منتقل می شود. توجه شود انرژی فونون را تقریبا ۰٫۲ ev در نظر گرفتیم.
است پس مقادیری بالاتر را برای دما قرار دادیم و نتایج را در دمای ۲۰۰۰K و ۱۲۰۰K و۷۵۰ K بررسی کردیم.
همان‌طور که درشکل ‏۴‑۱۵ مشاهده می‌کنیم رسانندگی نرمال شده به را رسم کرده‌ایم در این نمودار مشاهده می‌کنیم. رسانندگی نرمال اول از مقدار یک برای هر انرژی شروع می‌شود که این یعنی در عدم وجود تابش رسانندگی گرافن همان رسانندگی است. اما در ادامه و با افزایش شدت رسانندگی الکتریکی کاهش پیدا می‌کند. یعنی به سمت مقادیر منفی حرکت می‌کند و به مقادیر حداکثری ذکر شده در شکل برای هر رسانندگی می‌رسد. همان‌طور که قبلا گفتیم این به معنی وجود تقویت نوری در گرافن است. رسانندگی که در اینجا را اگر با مقادیر بدست آمده در بخش قبل مقایسه کنیم متوجه می­شویم که آنجا قدر مطلقِ حداکثرِ رسانندگی منفی مقدار بیشتری بود. در ضمن در هر شدت تابیده شده در فصل قبل مشاهده کردیم که دما تقریبا بالاتر از ۱۵۰۰ K است اما در اینجا هر چه دما بالاتر می‌رود (و به مقادیر مورد انتظار در آزمایشگاه نزدیک می‌شود) رسانندگی کاهش می‌یابد. در ادامه به دلایل این رفتار اشاره می‌کنیم.
شکل ‏۴‑۱۵ تغییرات رسانندگی نرمال شده به به ازای تغییرات شدت برای سه دمای مختلف
همانطور که دیدیم مقادیر بدست آمده رفتاری منطقی را داشت. یعنی با افزایش میدان و اعمال برانگیختگی بیشتر به رسانندگی منفی رسیدیم. اما داده ­های بدست آمده باید از لحاظ عددی مقادیر بیشتری را داشت. پس باید ساز و کارهایی را انتخاب کنیم که اعداد بدست آمده را بهبود ببخشیم. این ساز و کارها می ­تواند نرم افزاری، نوع نوشتن معادلات یا بحث­های فیزیکی را شامل شود.
ساز و کارهای بهبود تئوری ارائه شده:
۱-در فرایند حل معادلات به دلیل پیچیدگی جمله بدست آمده حل به روش عددی را انتخاب کردیم. برای این کار از روش بهینه ساز CDOS^[70] [۶۱] استفاده کردیم که در غالب یک بسته برای نرم افزار میپل موجود است. در این نوع حل ابتدا جواب هر تابع را به ازای بازه داده شده بدست می‌آورد بعد هر نقطه بین آن‌ها مشترک بود را به عنوان جواب دستگاه در نظر می‌گیرد. یعنی مثلا اگر معادله اول یک چند جمله‌ای مساوی صفر باشد دومی هم مساوی صفر باشد ابتدا یک بازه مشخص می‌کنیم. سپس برنامه در این بازه ابتدا امتحان می‌کند که در بازه داده شده هر کدام از توابع به ازای چه اعدادی صفر می‌شود(که البته الزامی به صفر شدن کامل نیست یعنی مثلا اگر حد مجاز تعیین شده برای جواب ۱۰^-۸ باشد هر کدام از اعداد جواب را به این میزان یا کمتر برساند به عنوان جواب تابع محسوب می‌شود). در نهایت هر کدام از توابع به همین صورت حل شد جواب دستگاه، جواب‌های مشترک همه این توابع می‌شود. در فرایند حل، بعد از حل همزمان روابط ‏۴‑۵۲ و ‏۴‑۶۱ مقادیر پتانسیل شیمیایی الکترون‌ها و حفره‌ها را محاسبه کردیم. اگر مقادیر به دست آمده از حل پتانسیل شیمیایی را بررسی کنیم مشاهده می‌شود اگر پتانسیل شیمیایی به اندازه ۰٫۰۲ ev نسبت به حالت (مثلا) ۲۰۰۰ k بیشتر بدست آید، نمودار حاصل شده برای پتانسیل شیمیایی اولیه صفر و دمای ذکر شده و انرژی ۱٫۶۵ ev به صورت شکل ‏۴‑۱۶ بدست می‌آید. البته انرژی ۱٫۶۵ ev خاص نیست و اگر به هر جواب در این رنج انرژی همین سطح یعنی در حد یک یا دو صدم اضافه کنیم این تغییر را مشاهده می‌کنیم.
همانطور که مشاهده می‌شود این اختلاف کوچک در محاسبه باعث تغییر زیادی در رسانندگی می‌شود و تقریبا به مقادیر مورد انتظار بسیار نزدیک می‌شود. این فرایند در حل معادله و محاسبات به علت گرد کردن اعداد است که صورت می‌گیرد. بنابراین باید تا حد ممکن از تکنیک‌هایی استفاده کرد که این فرایند را کم کند. اما با توجه به حلی که در روش CDOS صورت می‌گیرد روشی برای جلوگیری از گرد کردن پیدا نکردیم. این که با افزایش دما پتانسیل رسانندگی کاهش می‌یابد هم می‌تواند به همین صورت توضیح داده شود. یعنی چون دما از ۷۵۰ K به ۲۰۰۰ K یک توان اضافه می‌شود و دما عامل کاهش ضریب معادله است، پس این وضعیت گرد کردن را تقویت، و جواب را از مقادیر مورد انتظار دور می‌کند.
۲-امکان دیگری که می‌توان با کنترل آن به جواب بهتری دست پیدا کرد ساده سازی معادله و پیدا کردن جملات کوچک و حذف آن‌ها از معادله است. می­توان از یکی کردن جملات مشابه استفاده کرد. بسط دادن بعضی از آن‌ها به چند جمله‌ای­ها هم می ­تواند در کنار راهکارهای قبل شیوه بسیار مفیدی باشد. به علت این که جملات پیچیده‌ای در حل وجود دارد از انجام این امور صرف‌نظر کردیم. علت این است که بتوانیم جواب اصل معادله محاسبه شده بدست آوریم. البته باید توجه شود در بخش قبل که جملات را بسط دادیم، به طور کامل معادله را می‌توانستیم بر حسب چند جمله‌ای ها بنویسیم، و روش حل ساده‌تری داشت و امکان اشتباه بسیار کم بود.
شکل ‏۴‑۱۶ نمودار تغییرات رسانندگی بر حسب تغییر شدت میدان برای انرژی ۱٫۶۵ ev که خط نشان دهنده مقادیر واقعی محاسبه شده است و خط چین مقادیر به ازای اضافه کردن دستی ۰٫۰۲ ev به جواب است که این نمودار نشان دهنده حساسیت جواب به ارقام کوچک به دست آمده از معادله است. توجه شود مقادیر خط چین مقادیر واقعی نیست.