فرض كنيم  . چون  و محدب است  . بنابراين :

كه چون نمايش  در  به صورت  است در نتيجه تساوي اخير برابر است با :

پس  محدب  است.
اکنون فرض كنيم  فشرده باشد. ابتدا نشان می دهیم که تابع تراكم، يك *- همومورفسيم است. فرض کنیم  تابع تراکم از به باشد به طوري كه :

آنگاه :
(1
(2
(3
تساوي (3) به اين دليل است كه  پس  . لذا طبق قضيه 8- 1- 4 از [9] ،  پيوسته است و چون تابع پيوسته هر مجموعه ی فشرده را به فشرده مي‌نگارد پس  نيز فشرده است.
اکنون فرض كنيم  لذا به ازاي هر، كه  هم چنین فرض كنيم  به طوری كه  . يكاني‌هاي  را انتخاب مي‌كنيم به طوري كه :
بنابراین :

( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

لذا :
كه در اين مجموع و  در نتیجه  عضو  است.■
گزاره4-2-3: فرض كنيم  محدب باشد و  يك تركيب محدب  ازها باشد آن‌گاه توسط تركيب كردن جملات  () مي‌توان و را پيدا كرد به طوري كه  را به عنوان تركيب  محدب عناصر با تنها دو جمله به صورت  باز نويسي كرد.

در اين گزاره به صورت  تعريف مي‌شود به طوري كه  .
اثبات: [12]، گزاره 3-1.
در اين قسمت نتيجه 4-2-4 را كه به عنوان نتيجه‌اي از قضيه 4-1-1 در [12] آورده‌شده بيان كرده و اثبات مي‌كنيم سپس به كمك آن ملاحظه 4-2-5 را بيان خواهيم كرد. اما قبل از ان سه تکنیک زیر را که برای اثبات این نتیجه لازم داریم بیان می کنیم.
تكنيك A: فرض كنيم  به طوري كه  و  براي هر  . اكنون اگر اين ترکیب يك تركيب  محدب محض براي  نباشد، مي‌توانيم  را به صورت زير بازنويسي كنيم :

به طوري كه  كه چون  ، تعداد ضرايب تركيب  محدب براي هر  كمتر از  ضريب است. چون هر  معكوس‌پذير است و  بنابراين  به صورت تركيب  محدب محض از عناصر  با ضرايب  است.
تكنيك B: فرض كنيم  يك فضاي هيلبرت و  یک زير فضاي خطي و بسته از  است به طوري كه هم چنین ضرايب  محدب  به شكل  باشد به طوري كه  و اگر

آن‌گاه براي هر را مي‌توان به صورت زير بازنويسي كرد :

جايي كه :

البته براي اينكه  به صورت تركيب  محدب محض از  و  باشد كافي است  معكوس‌پذير باشد.
تكنيكC: اگر  معكوس پذيرباشد آن‌گاه  را مي‌توان به صورت زير بازنويسي كرد :

به طوري كه  و توسط رابطه زير مشخص مي‌شود :
نتيجه 4-2-4: فرض كنيم  و يك نقطة فرين و تحويل ناپذير باشد. اگر یک ترکیب -محدب از باشد، آن‌گاه يكاني  و  موجودند كه :

،.
اثبات:
ابتدا نشان مي‌دهيمکهبرای هر ، . فرض‌كنيم .

طبق گزارة 4-2-3 وقتي ، محدباست و يك تركيب محدب از ان گاه با تركيب جملات مي‌توان و را پيدا كرد به طوري كه اکنون با به كارگيري روش اثبات در قضيه 4-1-1 و با در نظر گرفتن تجزيه قطري نتيجه مي‌شودکه :