بنابراین براساس آزمون جانسن فرض صفر رد می­ شود اگر بزرگتر از چندک - ام توزیع با درجات آزادی و باشد.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

۳-۲- آزمون متغیر تعمیم یافته ( The Generalized Variable Test )

دومین آزمون تقریبی برای فرض در مقابل آزمون متغیر تعمیم یافته است که در این بخش به معرفی این آزمون می­پردازیم.
متیو، گامیج و ویراهاندی در سال ۲۰۰۴ آزمونی را پیشنهاد کرد که به اختصار با نماد GV نشان می­دهیم و براساس مفهوم p- مقدار تعمیم یافته، که توسط تیسو (Tsui) و ویراهاندی در سال ۱۹۸۹ معرفی شده، می­باشد.

۳-۲-۱-p - مقدار تعمیم یافته یک متغیره

در این قسمت p- مقدار تعمیم یافته یک متغیره و شرایط مربوط به آماره آزمون را مورد بررسی قرار می­دهیم. ( Gamage, Mathew, Weerahandi, 2004, p.177-189 )
فرض کنید یک متغیر تصادفی از توزیعی با پارامترهای باشد به گونه ­ای که پارامتر مورد علاقه و پارامتر مزاحم می­باشد. (پارامتر مزاحم پارامتری است که در توزیع متغیر وجود دارد اما پارامتر مورد علاقه نیست.)
فرض کنید علاقه­مند به آزمون در مقابل هستیم به گونه ­ای که مقداری مشخص و معلوم می­باشد. همچنین فرض کنید نشان دهنده مقدار مشاهده شده متغیر باشد. آماره تعمیم یافته که یک کمیت تصادفی است و به مقدار مشاهده شده و پارامترها بستگی دارد را به همراه شرایط زیر در نظر بگیرید:
توزیع آماره به پارامتر مزاحم بستگی نداشته باشد.
مقدار مشاهده شده یعنی به پارامتر مزاحم بستگی نداشته باشد.
به ازای و ثابت، نسبت به غیر نزولی باشد. (۳-۲-۱)
براساس شرایط فوق p- مقدار تعمیم یافته به صورت زیر تعریف می­ شود:
به گونه ­ای که است.

۳-۲-۲-p - مقدار تعمیم یافته برای مسئله بهرنز فیشر چند متغیره

در این قسمت به معرفی p- مقدار تعمیم یافته برای مسئله بهرنز فیشر چند متغیره با توجه به مطالب گفته شده در قسمت قبل می­پردازیم. ( Gamage, Mathew, Weerahandi, 2004, p.177-189 )
فرض کنید دارای توزیع و دارای توزیع و مستقل از یکدیگر باشند. همچنین فرض کنید و نشان دهنده بردارهای میانگین نمونه ­ای با مقادیر مشاهده شده و و و نشان دهنده ماتریس­های کوواریانس نمونه ­ای با مقادیر مشاهده شده و باشند به گونه ­ای که
عبارات زیر را در نظر بگیرید:
,
براساس روابط فوق
آزمون در مقابل را می­توان به صورت در مقابل بیان کرد.
فرض کنید ، ، و نشان دهنده مقادیر مشاهده شده ، ، و باشند. تحت فرض داریم:
بنابراین
.
اگر باشد، آنگاه
.
آماره را به صورت زیر تعریف می­کنیم:
.
حال شرایط ( ۳-۲-۱ ) را برای آماره بررسی می­کنیم:
با توجه به و تعریف شده به صورت فوق، را می­توان بفرم درجه دوم براساس نوشت. همچنین با توجه به اینکه تحت فرض صفر توزیع ، و به پارامتر مجهول بستگی ندارد و مستقل از یکدیگرند، بنابراین توزیع تحت فرض صفر نیز به پارامتر مجهول بستگی ندارد.
با توجه به تعریف ، و مقدار مشاهده شده به صورت زیر می­باشد:
بنابراین به پارامتر مجهول بستگی ندارد.
با توجه به اینکه تابعی ثابت نسبت به است، بنابراین نسبت به تابعی غیر نزولی است.
در نتیجه می­توان را به عنوان آماره آزمون متغیر تعمیم یافته در نظر گرفت و p- مقدار تعمیم یافته را به صورت زیر تعریف کرد:
.

۳-۲-۳- آزمون متغیر تعمیم یافته

در این قسمت با توجه به p- مقدار معرفی شده در قسمت­ های قبل به بررسی آزمون متغیر تعمیم یافته می­پردازیم.
فرض کنید مقدار مشاهده شده باشد. همچنین فرض کنید به صورت زیر تعریف شده باشد:
(۳-۲-۲)
برای داده شده، ها از هم مستقل هستند و با توجه به اینکه
توزیع دارد.
آماره آزمون متغیر تعمیم یافته به صورت زیر تعریف می­ شود:
(۳-۲-۳)
با توجه به رابطه ( ۱-۳-۳ ) تحت فرض برابری بردارهای میانگین توزیع کای اسکور با درجه آزادی دارد.
حال ۳ شرط ( ۳-۲-۱ ) را برای آماره بررسی می­کنیم:
با توجه به اینکه صورت آماره تحت فرض صفر توزیع کای اسکور با درجه آزادی و همچنین در مخرج توزیع دارند، این نتیجه را می­توان گرفت که توزیع آماره به پارامتر مجهول بستگی ندارد.