را به صورت تعریف می­کنیم به گونه ­ای که
.
به طور مشابه برآورد به صورت تعریف می­ شود.

۱-۲- توزیع ویشارت

در این بخش توزیع ویشارت (Anderson, 2003, p.252) و برخی از خواص آن را بررسی خواهیم کرد.
تعریف: فرض کنید یک نمونه تصادفی تایی از توزیع باشند. توزیع ویشارت با درجه آزادی و پارامتر را به صورت زیر تعریف می­کنیم:
اگر باشد، در این صورت گوییم دارای توزیع ویشارت با درجه آزادی و پارامتر است و آن را با نماد نمایش می­دهیم.
امید ریاضی توزیع ویشارت به صورت زیر محاسبه می­ شود:
قضیه ۱-۲-۱: اگر و و از یکدیگر مستقل باشند، آنگاه به گونه ­ای که است.
اثبات: طبق تعریف می­توان و را بفرم زیر نمایش داد:
به گونه ­ای که مستقل از یکدیگر هستند و دارای توزیع می­باشند. بنابراین

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

.
قضیه ۱-۲-۲: اگر بردارهای تصادفی مستقل و هم­توزیع با باشند، در این صورت است به گونه ­ای که مستقل از یکدیگر و دارای توزیع مشترک می­باشند. بنابراین دارای توزیع ویشارت با درجه آزادی و پارامتر است.
اثبات: به پیوست مراجعه شود.
بنابراین براساس قضیه ۱-۲-۲ نتیجه می­ شود که
بنابراین
مسئله مورد علاقه در این پایان نامه، آزمون کردن
براساس آماره­ های بسنده مینیمال بردار میانگین و ماتریس کوواریانس نمونه ­ای است.
فرض کنید ، ، و باشند. تحت فرض برابری بردارهای میانگین، را بردار مشترک ها در نظر بگیرید.

۱-۳- آماره آزمون

در این بخش ابتدا آماره آزمون را تحت فرض معلوم بودن ماتریس­های کوواریانس و سپس تحت فرض مجهول بودن ماتریس­های کوواریانس، می­یابیم.

۱-۳-۱-آماره آزمون نسبت درستنمایی تحت فرض معلوم بودن ماتریس­های کوواریانس

در این قسمت ابتدا برآورد ماکزیمم درستنمایی را تحت فرض و با فرض معلوم بودن ماتریس­های کوواریانس محاسبه می­کنیم. بدین منظور تابع درستنمایی عبارت است از:
(۱-۳-۱)
و بنابراین لگاریتم تابع درستنمایی به صورت زیر می­باشد:
حال از رابطه فوق نسبت به بردار مشتق می­گیریم و مساوی با صفر قرار می­دهیم:
بنابراین با توجه به تعریف برآورد ماکزیمم درستنمایی بردار عبارت است از:
(۱-۳-۲)
توجه شود برآورد فوق بهترین برآوردگر نااریب خطی برای می­باشد.
در این مرحله با بهره گرفتن از روش LR آماره آزمون را بدست می­آوریم. فضای پارامتری تحت فرض صفر و در حالت کلی به صورت زیر تعریف می­ شود:
تابع درستنمایی و لگاریتم آن به صورت زیر می­باشد:
.
فرض کنید باشد. بنابراین:
پس برآورد درستنمایی به صورت زیر می­باشد:
.
تحت فرض برابری بردارهای میانگین تابع درستنمایی و برآورد ماکزیمم درستنمایی به ترتیب با روابط ( ۱-۳-۱ ) و ( ۱-۳-۲ ) برابر است. بنابراین آماره آزمون عبارت است از:
براساس آزمون نسبت درستنمایی فرض برابری بردارهای میانگین رد می­ شود اگر:
و یا به طور معادل
بنابراین آماره آزمون با فرض معلوم بودن ماتریس­های کوواریانس به صورت زیر می­باشد:
برای پیدا کردن احتیاج داریم توزیع را تحت فرض صفر بیابیم.
با جایگذاری برآوردگر محاسبه شده در رابطه ( ۱-۳-۲ ) برای ، آماره آزمون به صورت زیر ساده می­ شود:
(۱-۳-۳)
به گونه ­ای که است. فرض کنید باشد. با توجه به اینکه
پس ماتریس یک ماتریس خودتوان است و چون متقارن نیز می­باشد، با توجه به قضیه ۱ پیوست
از طرفی با توجه به اینکه ، نتیجه می­ شود که و بنابراین