که در آن نشانگر واحدهای مقطعی (مثلا شرکت ها) و نشانگر زمان است. متغیر وابسته را برای امین واحد مقطعی در سال نشان می‌دهد و نیز امین متغیر مستقل غیرتصادفی برای برای امین واحد مقطعی در سال ام است. جمله اخلال بوده و که فرض می شود دارای میانگین صفر ( ) و واریانس ثابت ( ) است.

پارامترهای مدل می‌باشد که واکنش متغیر مستقل نسبت به تغییرات امین متغیر مستقل در امین مقطع و امین زمان را اندازه گیری می‌کند. برای برآورد مدل بر اساس داده های پانل روش های مختلفی همچون روش اثرات ثابت^[۶۱] و روش اثرات تصادفی^[۶۲] وجود دارد که بر حسب مورد، کاربرد خواهند داشت.

۳-۶-۱-۱ روش اثراث ثابت:

در روش اثرات ثابت فرض بر این است که ضرایب مربوط به متغیرها (شیب ها) ثابت هستند و اختلافات بین واحدها را می توان به صورت تفاوت عرض از مبداء نشان داد. در این حالت اگر عرض از مبداء تنها برای واحدهای مختلف مقطعی متفاوت باشد اصلاحاً روش اثرات ثابت یک‌طرفه^[۶۳] نامیده شده و مدل آن به صورت زیر می‌باشد:

(۱)

و اگر عرض از مبداء هم مابین مقاطع و هم مابین دوره ها متفاوت باشد روش اثرات ثابت دوطرفه^[۶۴] نامیده می شود و مدل آن به صورت زیر خواهد بود:

(۲)

در مدل های فوق متغیری است که برای واحدهای مقطعی متفاوت اما در طول زمان ثابت می باشد و متغیری است که برای تمام واحدهای مقطعی در زمان مشابه یکسان بوده اما در طول زمان تغییر می‌کند. برای برآورد روش اثرات ثابت از مدل حداقل مربعات متغیر مجازی^[۶۵] (LSDV) استفاده می شود. مدل اخیر یک مدل رگرسیونی کلاسیک بوده و هیچ شرط جدیدی برای تجزیه و تحلیل آن لازم نیست و از طریق روش حداقل مربعات معمولی^[۶۶] قابل برآورد می باشد.

۳-۶-۱-۲ روش اثرات تصادفی:

مدل های اثرات ثابت تنها درصورتی منطقی خواهد بود که ما اطمینان داشته باشیم که اختلاف بین مقاطع را می توان به صورت انتقال تابع رگرسیون نشان داد، در حالی که ما همیشه از وجود این موضوع مطمئن نیستیم. برای رفع این مشکل روشی پیشنهاد شده است که به مدل اجزاء خطا^[۶۷] یا اثرات تصادفی معروف است. این روش فرض می‌کند که جزء ثابت مشخص کننده مقاطع مختلف به صورت تصادفی بین واحدها و مقاطع توزیع شده است. ‌بنابرین‏ مدل اثرات تصادفی را می توان به صورت زیر تعریف کرد:

(۳)

که در آن یک جمله خطای تصادفی با میانگین صفر و واریانس می‌باشد. ‌بنابرین‏ در مدل اثرات تصادفی جزء اخلال از دو بخش تشکیل شده است؛ یکی که جزء اخلال مقطع می باشد، و دیگری که جزء اخلال ترکیب مقطع و سری زمانی است. با توجه به اینکه در این حالت واریانس های مربوط به مقاطع مختلف با هم یکسان نیستند لذا مدل دچار ناهمسانی واریانس بوده و از روش حداقل مربعات تعمیم یافته^[۶۸] (GLS) جهت برآورد مدل استفاده می شود.

۳-۶-۱-۳ آزمون چاو^[۶۹] یا F مقید:

در بررسی داده های مقطعی و سری های زمانی، اگر ضرایب اثرات مقطعی و اثرات زمانی معنی دار نشود، می توان داده ها را با یکدیگر ترکیب کرده و به وسیله یک رگرسیون حداقل مربعات معمولی تخمین بزنیم. از آنجایی که در اکثر داده های ترکیبی اغلب ضرایب مقاطع یا سری های زمانی معنی دار هستند این مدل که به مدل رگرسیون ترکیب شده^[۷۰] معروف است کمتر مورد استفاده قرار می‌گیرد (یافی^[۷۱]، ۲۰۰۳). لذا برای اینکه بتوان مشخص نمود که آیا داده های پانل جهت برآورد تابع مورد نظر کارآمدتر خواهد بود یا نه، فرضیه ای را آزمون می کنیم که در آن کلیه عبارات ثابت برآورد با یکدیگر برابر هستند. فرضیه صفر این آزمون که به آزمون چاو یا F مقید معروف است به صورت زیر می‌باشد:

برای آزمون فرضیه مذکور از آماره F به صورت زیر استفاده می شود:

)۴)

که در آن N برابر با تعداد واحدهای مقطعی، T طول دوره مورد نظر، K تعداد متغیرهای توضیحی، RRSS مجذور پسماندهای حاصل از برآورد مقید رگرسیون به صورت حداقل مربعات متغیر مجازی و URSS مجذور پسماندهای حاصل از برآورد نامقید رگرسیون به صورت حداقل مربعات معمولی می‌باشد. در این آزمون فرضیه یعنی یکسان بودن عرض از مبداء ها در مقابل فرضیه یعنی ناهمسانی عرض از مبداء ها قرار می‌گیرد. در صورتی که فرضیه پذیرفته شود به معنی یکسان بودن شیب ها برای مقاطع مختلف بوده و قابلیت ترکیب شدن داده ها و استفاده از مدل رگرسیون ترکیب شده مورد تأیید آماری قرار می‌گیرد. اما در صورت رد فرضیه روش داده های پانل پذیرفته می شود و می توان از روش داده های پانل استفاده کرد.

۳-۶-۱-۴ آزمون هاسمن^[۷۲]:

به منظور اینکه مشخص گردد کدام روش (اثرات ثابت و یا اثرات تصادفی) جهت برآورد مناسب تر است (تشخیص ثابت یا تصادفی بودن تفاوت های واحدهای مقطعی) از آزمون هاسمن استفاده می شود. در روش اثرات تصادفی بار متغیرهای حذف شده روی جمله اخلال قرار می گیرند، اما این مشروط بر آن است که بین متغیرهای مستقل و مؤلفه خطای مقطعی همبستگی وجود نداشته باشد. آزمون هاسمن وجود این همبستگی را بررسی می‌کند. این آزمون مبتنی بر این فرض اولیه است که در صورت وجود همبستگی، روش اثرات ثابت سازگار و روش اثرات تصادفی ناسازگار است. اگر تخمین کننده روش اثرات تصادفی و تخمین کننده روش اثرات تصادفی باشد آماره این آزمون که دارای توزیع کای-دو با درجه آزادی برابر با تعداد متغیرهای مستقل است به صورت زیر قابل تعریف می‌باشد:

(۵)

فرضیه صفر در آزمون هاسمن به صورت زیر خواهد بود:

فرضیه صفر ‌به این معنی است که ارتباطی بین جزء اخلال مربوط به عرض از مبدأ و متغیرهای توضیحی وجود ندارد و آن ها از یکدیگر مستقل هستند. در حالی که فرضیه مقابل ‌به این معنی است که بین جزء اخلال مورد نظر و متغیرهای توضیحی همبستگی وجود دارد. از آنجایی که به هنگام وجود همبستگی بین اجزاء اخلال و متغیر توضیحی با مشکل تورش و ناسازگاری مواجه می شویم، ‌بنابرین‏ بهتر است در صورت پذیرفته شدن (رد ) از روش اثرات ثابت استفاده کنیم. هنگامی که بین اجزاء اخلال و متغیر توضیحی همبستگی وجود نداشته باشد ( قبول )، هر دو روش اثرات ثابت و اثرات تصادفی سازگار هستند ولی روش اثرات ثابت ناکارآ بوده و بایستی از روش اثرات تصادفی استفاده شود (بالتاجی، ۱۹۹۵، ص ۷۳-۶۸ ).

۳-۶-۲ آزمون معنی دار بودن مدل

برای بررسی معنی دار بودن مدل رگرسیون از آماره F استفاده شده است. فرضیه صفر در آزمون F به صورت زیر خواهد بود:

که به وسیله آماره زیر صحت آن مورد بررسی قرار می‌گیرد:

(۶)